प्रायिकता (Probability)

प्रायिकता (Probability) गणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण शाखा है। यहाँ प्रायिकता का आशय, परिभाषा और उससे जुड़े महत्वपूर्ण तथ्यों का विस्तृत विवरण दिया गया है:

1. प्रायिकता का आशय (Meaning of Probability)

प्रायिकता का सामान्य अर्थ है — 'संभावना' (Possibility)

हमारे दैनिक जीवन में कई ऐसी घटनाएं होती हैं जिनके परिणाम के बारे में हम निश्चित नहीं होते। हम अक्सर कहते हैं, "आज बारिश हो सकती है" या "शायद भारत मैच जीत जाएगा"। यहाँ 'हो सकती है' या 'शायद' अनिश्चितता को दर्शाते हैं। इसी अनिश्चितता को जब हम गणितीय रूप में (अंकों में) मापते हैं, तो उसे प्रायिकता कहते हैं।

संक्षेप में, किसी घटना के घटित होने के संयोग (Chance) की माप ही प्रायिकता है।

---

2. प्रायिकता की परिभाषा (Definition)

गणितीय रूप में, किसी घटना (Event) के घटित होने की प्रायिकता, उस घटना के अनुकूल परिणामों और कुल संभावित परिणामों का अनुपात होती है।

सूत्र (Formula):

$$P(E) = \frac{\text{घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{प्रयोग के कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$$

जहाँ:

• $P(E)$ = घटना (Event) की प्रायिकता

• अनुकूल परिणाम = वे परिणाम जो हम चाहते हैं।

• कुल परिणाम = वे सभी परिणाम जो उस प्रयोग में आ सकते हैं।

---

3. प्रायिकता से संबंधित महत्वपूर्ण तथ्य (Important Facts)

प्रायिकता के प्रश्नों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम और तथ्य याद रखना बहुत आवश्यक है:

1. प्रायिकता की सीमा (Range): किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।

• $$0 \leq P(E) \leq 1$$

• प्रायिकता कभी भी 1 से बड़ी नहीं हो सकती और 0 से छोटी (ऋणात्मक) नहीं हो सकती।

1. निश्चित घटना (Sure Event): वह घटना जिसका घटित होना तय है (100%), उसकी प्रायिकता 1 होती है।

उदाहरण: सूर्य का पूर्व से निकलना।

1. असंभव घटना (Impossible Event): वह घटना जो कभी घटित नहीं हो सकती, उसकी प्रायिकता 0 (शून्य) होती है।

उदाहरण: एक पांसे (Dice) को फेंकने पर 7 अंक आना (क्योंकि पांसे में केवल 6 तक अंक होते हैं)।

प्रायिकताओं का योग: किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है।

1. पूरक घटना (Complementary Event): किसी घटना के 'घटित होने' ($P(E)$) और 'घटित न होने' ($P(\text{not } E)$ या $P(\bar{E})$) का योग हमेशा 1 होता है।

$$P(E) + P(\text{not } E) = 1$$

इसलिए:

$$P(\text{not } E) = 1 - P(E)$$

प्रतिशत में: प्रायिकता को प्रतिशत में भी व्यक्त किया जा सकता है (0% से 100% तक), लेकिन गणितीय गणना में हम भिन्न (Fraction) या दशमलव (Decimal) का प्रयोग करते हैं।

---

4. एक सरल उदाहरण (Example)

प्रश्न: एक सिक्के को उछालने पर 'चित' (Head) आने की प्रायिकता क्या है?

• कुल संभावित परिणाम: 2 (चित या पट / Head or Tail)

• अनुकूल परिणाम (Head): 1

• सूत्र:

  $$P(Head) = \frac{1}{2}$$

• उत्तर: 0.5 या 50%